Ed25519 是一个基于椭圆曲线的数字签名算法，它高效，安全且应用广泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要讲解以下几点：
1. 介绍一点群论知识，目的是让大家对 Ed25519 和其可延展性问题的原理有一种直觉。若想深入理解，还需参考其他资料；
2. 针对 rust 库 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本讲解 ed25519 的实现；
3. 针对该库的延展性问题做出解释。
数学要点回顾
群的定义与性质
群论是抽象代数研究的内容，但抽象代数的一些思想是程序员非常熟悉的。面向对象中的继承就是一个很好的例子，我们都知道子类继承了父类后，就能使用父类中定义的方法。可以将抽象代数理解为对一个抽象的数据结构定义了一些性质，由这些性质推导出来的定理对于所有的子类都成立。
Magic Eden宣布重新上线BRC20交易市场:7月13日消息，Magic Eden发推称，BRC20交易市场已重新上线。后续一个月新上架物品交易费率修改为0.1%，并进行了一些UI和验证方面的改进。[2023/7/13 10:51:42]
沿用刚刚的比喻，来看看群（group）这个数据结构是如何定义的。
由此可以推出许多有意思的定理：
举几个例子：
Bitcoin Ordinals启动平台提出BRC-69标准以降低90%的成本:金色财经报道，Bitcoin Ordinals启动平台Luminex提出了BRC-69标准，旨在简化递归Ordinals集合的创建，降低申购成本，简化链上预披露流程。
Ordinals开发者上个月推出了递归铭文，通过允许铭文一起工作，帮助克服比特币每个区块大小4MB的限制，限制了NFT的大小。以前，代表比特币上的代币和NFT的Ordinals铭文是相互独立的，不知道其他铭文。递归铭文可以使用特殊语法引用其他铭文的内容。
在此基础上，Luminex声称BRC-69可以将铭文成本降低90%以上，随着铭文数量的增长，有助于优化比特币区块空间。Luminex表示，这种减少是通过四个步骤来实现的，即添加特征、部署集合、编译它和铸造资产。[2023/7/4 22:17:18]
BitKeep钱包已上线BRC-20 Ranking:5月15日消息，Web3多链钱包BitKeep现已推出BRC-20 Ranking，实时更新BRC-20代币价格变动、24小时涨跌幅、持有人数和交易量等信息，降低移动端用户参与比特币生态的门槛。目前已收录前100名流行的BRC-20代币数据。
据CoinTelegraph采访报道，BitKeep本月将全面接入比特币生态，帮助用户在移动端和浏览器插件使用BTC Taproot地址格式，并支持BRC-20代币及比特币NFT的充提管理、转账交易等操作；同时，BitKeep一直在持续关注BRC21等新协议，根据市场趋势和用户需求，提供更多样化的支持与服务。[2023/5/15 15:04:01]
拉格朗日定理
现在介绍一个非常有意思的定理，这个定理的推导在文末引用的视频中。
BitKeep将支持Ordinals协议和BRC-20代币:金色财经报道，Bitget 发推称本月将接入比特币生态，NFT 交易市场将推出比特币 NFT 专区，支持 Ordinals 协议 BTC NFT 的展示、铸造、转账、交易；BitKeep 钱包同时将兼容 Taproot 地址格式，为 BRC-20 代币提供资产展示、转账和交易等服务。接入完成后，BitKeep 用户可以在移动端和插件端使用 BTC Taproot 地址格式，并对 BRC-20 代币及比特币 NFT 进行充提管理、转账交易等操作。[2023/5/8 14:50:22]
“群的阶能被子群的阶整除。”
为什么说这个定理有意思呢，不仅仅因为它的证明过程串起了刚刚介绍的许多知识，还因为下面的结论：
Ed25519 的实现
现在我们来讲 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一种。EdDSA 有 11 个参数（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），这些参数的具体选择对于算法的安全和性能有很大的影响。Ed25519 的具体选择请参看链接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。
另外，值得一提的是这套算法用到了一个叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的椭圆曲线。对于椭圆曲线，我们只需知道，它上边有很多很多点，这些点相加能得到新的点，新的点还是在曲线上。这些点和这个加法能形成一个群。注意这里的椭圆曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定义的。
我们约定如下记法：
这是个交互式的算法，但是没关系，有一个技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法转化成非交互式的算法。最终我们会用非交互式算法。
数字签名算法都会给我们如下 API：
密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。当我们说一个数字签名算法是安全的，一般指的是即使在攻击者能够获得任意消息的签名（Chosen Message Attack）的情况下，攻击者仍然不能伪造签名。Ed25519 满足这个性质，但不代表 Ed25519 是绝对安全的。在原始的论文中也提到，可延展性问题是可以接受的，且原始的算法就有这个问题。
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