从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
中原银行首席经济学家王军：数字货币可能会削弱传统柜台经营模式:10月23日，中原银行首席经济学家王军在由《财经》杂志、《财经智库》主办的“2021全球财富管理论坛”上表示。数字货币的应用，对于银行会有四种层面的影响。一是柜台传统的经营模式，可能会逐渐越来越弱。二是如果大家以后越来越认可数字货币，一定会有所谓的存款搬家的情况，这对商业银行负债的业务也会有影响。还有一些商业银行中收的机会减少。另外，数字货币会像所有的线上服务一样，面临着网络攻击或数据安全的问题。王军介绍，很多从业的银行家对于目前数字货币的应用，主要觉得不解渴。因为确实M0发挥的功能有限，但一旦进入到M1、M2领域，数字货币和电子化的货币有什么区别，大家也说不清楚。
所以现在的潜在影响和冲击主要在M0，但M0也已经产生出一些迹象。比如从机遇来讲，商业银行第一次可能成为主动的掌握流量入口。现在更多以软钱包APP的形式，内嵌在各家机构的APP里，未来可能通过手机、手表、手环或者徽章等等，所谓的硬钱包的方式使用。（财经网）[2021/10/24 6:10:26]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
德国安联首席经济学家：担心市场正朝着高波动性发展:10月17日消息，德国安联首席经济学家Mohamed El-Erian：预计（美国）高通胀问题至少还将再持续一年时间。美联储应该减缓货币政策力度。 担心市场正朝着高波动性发展。（金十）[2021/10/18 20:36:03]
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
北大经济学院冯科：应用数字货币来应对国际社会因新冠疫情对中国形成的误解与封杀:2020年度北京大学经济学院“两会笔谈”座谈会于5月22日下午以视频会议的形式召开。北京大学经济学院金融学系冯科副教授表示，长期以来，人民币国际地位与中国经济地位不匹配，人民币在全球交易和支付结算比例不足2%，而美元结算比例高达70%。新冠疫情更增强了国际领域“去中国化”、“去人民币化”的趋势。要依托阿里、腾讯，京东、拼多多等平台，紧扣国际贸易，应用数字货币，推动人民币的扩张，来应对国际社会因新冠疫情对中国形成的误解与封杀。（腾讯财经）[2020/5/24]
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
经济学家Alex Kruger再次抨击S2F模型:加密货币分析师PlanB的S2F是比特币市场上最受欢迎的模型之一，最近更新了该模型。该模型的反对者则表示，“围绕S2F的邪教”正是他们产生分歧的原因。比特币巨鲸Joe007曾多次在推特批评。
经济学家兼交易员亚Alex Kruger也是S2F模型的批评者，他认为该模型“被严重夸大了”，并再次在推特上分享他的反对意见，包括该模型不能用来预测BTC价格。他表示，那些用S2F来预测比特币的人，可能也在用月亮周期来预测BTC。
他指出，埃克塞特大学计量经济学助理教授Sebastian Kripfganz认为，考虑因素只能是非平稳变量，而S2F是平稳变量，从而“揭穿”了所谓的协整关系。
Kruger的个人观点是基于S2F不是随机过程，“不是随机的，而是确定性的”，是基于高r平方的虚假回归。然而，PlanB在他的文章中提到，“许多人已经验证了S2F和BTC价格之间的非虚假关系。”
Kruger总结称，S2F分析很有趣。但是S2F模型对于预测价格是无用的，因为其基本假设没有得到满足。PlanB则表示，Kruger太快下结论。（Bitcoin Exchange Guide）[2020/5/2]
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
现场 | 经济学家晏智杰：区块链的落地需要应对更加复杂的社会经济问题:金色财经12月17日现场报道，今日，由数字资产研究院主办，零壹财经和石榴财经承办的2018国际区块链数学科学会议在京举行。经济学家、北京大学经济学院前院长晏智杰表示，区块链的应用之路是曲折的。回顾区块链的最初应用，区块链似乎太先进了，太超前了，一开头就遇见了障碍。密码货币本身仍处在实验探索中，自身技术和机制让需要试错。随着影响的扩大，需要应对更加复杂的社会经济问题。[2018/12/17]
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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