许多预测模型都要求时间序列具有一定的一致性，即“平稳性”。平常的转换，即整数阶差分(譬如，在金融学中表现为建模收益而不是绝对价格)，消除了数据中的记忆，从而影响了建模的预测能力。
本文概述了分数微积分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平稳性和有意义的记忆之间做出权衡。
一般而言，我们会把一个给定的时间序列理解为一个随机过程产生的样本，并试图推断出其分布及统计数据以建立一个预测模型。
建立随机过程的预测模型是为了平衡样本的特殊性和一般性：该模型根据一般模式的背景对给定的序列做出解释。
FTX现任CEO：确保FTX所有资产安全将需要数周或数月时间:金色财经报道，FTX现任首席执行官John Ray预计，确保该公司所有资产的安全将需要数周或数月时间。SBF从公司获得了大量贷款。前FTX首席执行官SBF曾作为一笔贷款的发放者和接受者签字。FTX的银行状况本应是客户的一个危险信号。安永正在审查FTX是否合理地报税。Ray认同需要对加密货币进行更多的控制和监管。
此前报道，FTX现任CEO称，还在调查Alameda向SBF提供10亿美元贷款的去向。[2022/12/14 21:43:03]
比一般预测回归更具体的是，由于时间结构的原因，时间序列一般具有其固有顺序。任何给定的实例都反映了其发展变化情况，即过去跟踪记录的特定记忆。
Facebook丑闻举报者：已在正确的时间购买了加密货币:10月25日消息，前Facebook产品经理及Facebook丑闻举报者Frances Haugen在接受《纽约时报》采访时表示，自己在财务上管理着“可预见的未来”，因为她“在正确的时间”购买了加密货币。不过，文章并没有说明Haugen购买加密货币的细节。
据悉，今年5月，Haugen离开了Facebook并带走了数万份文件，这些文件显示，该公司将其增长置于用户的福祉之上。这些文件暴露了这家社交媒体巨头意识到，在Instagram上发布的信息可能会损害青少年的心理健康。（Coindesk）[2021/10/25 20:54:20]
平稳性
为了确定生成过程的一般模式并映射给定的排列，在实际建模之前我们通常将此特定序列的记忆作为预处理步骤的一部分予以删除。
美联储主席：不急着提高利率，拒绝给零利率设定时间框架:美联储主席鲍威尔称，遏制疫情的强力措施让经济停滞，第二季度经济活动将以前所未有的速度下滑，GDP反弹不会让美国回到疫情爆发前的水平。已经放慢了购债速度，企业信贷工具即将敲定，接近就主体街贷款工具发行新的定期购债表。此外，美联储不急着提高利率，有效利率下限处于正确的位置，并再次拒绝给零利率设定时间框架。（金十）[2020/4/30]
在机器学习领域的监督学习中，该序列可以发现一般性结构并对给定的实例与标记训练集中更多的样本进行匹配。
在数学领域,过程的统计特性不会因时间顺序的改变而变化，这意味着系列不会随时间推移而呈现出一种趋势。该概念被称为平稳性。
检查时间序列平稳性的方法有很多种:
分析 | BTC市值占比保持稳定 出块时间略有加速:据TokenGazer数据分析显示：截止至11月30日18:00，BTC报价$7558.9，市值为$135,894.99M；主流交易所24H BTC交易量约为$317.38M，环比昨日缩水52.81%；BTC活跃地址数、链上交易量持续下滑，出块时间有一定加快，约为9.7min，BTC市值占比平稳波动，目前约为66.43%；BTC 30天ROI有一定改观；据TokenGazer官网六道数据显示，BTC价格走势与黄金90天走势呈现一定正相关性，BTC情绪指数移动平均线保持稳定；期货方面，与24小时前相比，火币、OKEx的比特币持仓量下降；OKEx的比特币多空人数比降至0.96；火币的比特币多空趋势中，精英用户持有的多头头寸占比为52.7%；交易所方面，日内BTC/USD Coinbase对BTC/USDT?Huobi存在正溢价。入市有风险，投资需谨慎。[2019/11/29]
观察线形图，寻找一段时间内的明显的趋势。比较数列中各种分割的基本汇总统计数据。观察自相关图：曲线下降越快，滞后越明显，序列的非平稳性阶数越小。最常见的平稳性统计检验是单位根的ADF检验。
动态 | 数据：过去十年94%的时间里投资比特币保持盈利:金色财经报道，LookIntoBitcoins最近的数据表明，比特币在其10年的生命周期中有94%以上的时间保持盈利。LookIntoBitcoins统计比特币交易历史上持有比特币相对于最新价格有利可图的天数。在截至2019年11月7日共3368天的时间内，盈利时间为3170天，而亏损时间只有198天。也就是说，如果投资者在过去10年中94%的时间里购买比特币并一直持有，其投资就会获利。这些数据还突显出，如果一个投资者在比特币存在的前七年购买比特币，将会获得可观的利润。但那些在2017年12月之后、2018年和2019年全年购买比特币的人，其利润或亏损将随着过去两年价格趋势的变化而变化。尽管通用数据显示比特币在其94%的生命周期中一直保持盈利，但我们应该谨慎对待，因为它无法预测交易者是否能够利用数据预测的趋势。另外，IntoTheBlock跟踪2800万个比特币地址，评估其交易历史，发现共有2040万个地址盈利，550万个地址出现亏损。因此，这些数据表明，迄今为止，73.1%的比特币地址处于盈利状态，而只有19.8%的比特币地址出现亏损。[2019/11/12]
单位根是指初始条件或外部冲击不会随着时间的推移而消散，而是通过该序列传播，并通知所有后续值。该含义从直观上正式地解决了在单位圆上的过程特征方程。
对于给定的置信水平，ADF测试零假设“序列中存在单位根”以及序列稳定性的替代。它直接证明了，单位根的存在确实意味着该序列的不稳定。
分数阶微积分
事实上，在17世纪牛顿和莱布尼茨发明微积分后不久，数学家们就对分数阶导数的使用进行了探索，将微分或积分的顺序从自然数扩展到实数。然而，其应采纳赫斯特和曼德尔布罗特在20世纪的成果，为分数微积分找到初期的自然应用，并使其与霍斯金和格兰杰于20世纪80年代创建的Arfima模型一同进入金融领域。
大约在1730年，欧拉就该归纳给出有史以来第一个启发式，通过函数将二项式系数推广到实数阶。后来，在黎曼和刘维尔的积分理论中，重复微分的柯西公式使之变得更加严谨。
这里，我们仅仅给出了时间序列差分应用程序的形式启发式：
B表示滞后操作符，即对于t>1,BX_t=X_{t-1}和某个时间序列X={X_1，...}。一阶元素阶差分可以用恒等算子I表示，如下：
金融时间序列建模的应用
在金融领域，时间序列起主导作用。为了更好地理解分数阶差分的特征，我们将其应用于一些典型的金融时间序列。
利用以下代码，将差分算子的上述形式序列的展开式应用到指定实阶d和固定窗口大小的时间序列上，得到变换后的序列，然后只需将一个pandas时间序列输入参数阶和lag_cutoff的ts_difference函数中即可。
2016-2018年比特币的价格(红色，右轴)，以及部分衍生品(蓝色阴影)
正如你可能已注意到的，比特币的价格在2017年和2018年经历了一次明显的炒作。实际上，看看一阶差分，我们发现价格在某些日期上涨了2500美元以上。上图展示了一些分数阶差分的平滑函数插值。这似乎很奇怪，在如此强劲的趋势下，约0.4的弱差分实际上竟足以使该序列呈平稳型：给定样本的ADF统计量为-5，其已低于DFt-分布的临界值-2.86,因此在置信度为95%下，该序列可以假定是平稳的。的确，随着财富的来回变动，它很快就变得吝啬起来。
低阶差分足以满足平稳性的结论与其他许多金融时间序列相似。
为了说明平稳性和记忆之间的权衡，我们可以进行适当的可视化，并将ADF测试统计数据以及与原始序列的相关性绘制成具有不同阶差变换的序列。。
对于商品期货、汇率、指数等各种典型的金融序列，这种对比清晰地表明了差阶满足金融建模的平稳性条件，同时保留了特定的记忆结构，从而保持了原始序列的统计动态。
ADF检验统计量(左轴，红色曲线)和线性相关(右轴，矢状花蓝色曲线)与原序列进行各种分数阶差分，应用于各种金融时间序列。石板灰中的常数线表示ADF检验的显著性水平为95%。
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