继上一次关于支付网络中路由问题的全面研究之后，热爱研究的Nervos小伙伴Shor对通道网络中的再平衡算法又做了详细的研究。
本文中，我们会介绍通道网络中的Rebalance问题。首先我们将介绍问题的定义和现有的解决算法。之后，我们会针对这一问题，介绍必要的图论基础和建模方法。最后，我们提供一种算法加速思路。
支付网络中的Rebalance问题简介
我们把一个支付网络看作一个无向图，每个图中的节点代表一个PID，每条边代表一个支付通道，其中每条边在两端节点各有一个存量。注意：我们默认每个支付通道内部总存量守恒，即由A，B组成的通道中，如果A有余额50，B有余额80，B在向A支付10元后，A有余额60，B有余额70。
Gate将开启Startup项目认购通道:据官方公告，Gate将于6月13日12:00 至6月14日12:00开启Startup项目Formation Fi(FORM)认购通道，24小时内有效下单同等对待。用户需要达到VIP1和以上级别才能参与认购。用户下单后到结束认购后2小时内，请务必保证现货交易账户中金额有足够金额，金额不足将自动排除在有效订单之外。认购结果将于6月14日13:00公布。[2021/6/12 23:32:18]
有时，因为网络拓扑结构等原因，一个支付通道的一个方向总比另一个方向「更受欢迎」，在此情况下，各个通道的有限总存量都被「堆积」到一侧，或者说「受欢迎方向」的流量就此耗尽了。因此，支付网络会频繁出现通道流量耗尽，不得不再次「上链」打开新通道的情况。再平衡技术通过以下方式试图缓解这一问题。
Ripple计划在巴西建立新XRP支付通道:金色财经报道，Ripple全球银行业务负责人Marjan Delatinne表示，Ripple正计划在巴西建立新的XRP支付通道。[2020/6/13]
例如下图中,我们考虑一个由四条边构成的回路，他们主流方向的10单位余量都已经耗尽。
其中每个箭头?
表示一个连接了A与B的无向通道，其中A方存量是a，B方存量是b。值得注意的是，箭头方向代表了主流方向，因而我们画成了一个有向图，不过最新基于RbR的支付通道都是双向的。Revive通过一个来自全局leader的协调，完成一个rebalance工作。例如，可以协调B向A转账5个单位，协调A向C转账5个单位，协调C向D转账5个单位，协调D向B转账5个单位，使得全图结构如下图所示。其本质上是找到一个「回路」，并在这个回路上让所有通道一起逆着主流方向回流、抵回一些流量。??
动态 | MoneyGram在全球五个支付通道使用Ripple跨境支付解决方案ODL:速汇金（MoneyGram）目前正在全球五个支付通道使用Ripple跨境支付解决方案ODL。在Ripple网络研讨会上，Ripple产品管理高级副总裁Asheesh Birla谈到了Ripple与其企业合作伙伴正在取得的进展。“Bitso在12月最后几周通过XRP转移了1800万美元的汇款，这一数字每周都在以15%-20%的速度增长。”速汇金现在有五条通道使用ODL，其最大通道美国到墨西哥通道（汇款）的10%正在转向XRP和ODL。根据Ripple产品高级总监Ginger Baker的说法，基于XRP的ODL目前与美元、欧元、墨西哥比索、菲律宾比索和澳元同时使用。Ripple在接近2019年底时增加了澳元。（FXStreet）[2020/2/8]
当我们提及Rebalance时，到底在试图解决哪些问题？
现场 | Fabio C.Canesin：实现去中心化交易需革新UI、线下交易与线上状态通道相结合:金色财经现场报道，NEO DevCon 2019开发者大会今日在西雅图举行，Nash 联合创始人 Fabio C.Canesin做了“每个人的分布式金融”主题演讲。Fabio C.Canesin表示，现在99%的加密货币交易在中心化交易所上进行，但是在中心化交易所拥有的不是真正的加密货币而是加密货币的一种表现形式。我们需要去中心化交易所去时刻掌控自己的数字货币，需要去中心化安全与真正的速度和功能相结合，实现目标需要革新的UI、线下交易匹配与线上的状态通道相结合。[2019/2/18]
笔者认为，关键需要解决两个问题：?
第一个问题是已知全图求调度方案的问题。
分析 | 金色盘面：ETH跌至通道下轨 短线风险加剧:金色盘面综合分析： ETH经过一轮调整之后，价格逼近通道下轨，但MACD没有止跌迹象，所以短线应该保持观望，建议投资者注意控制风险。[2018/9/5]
第二个问题是协议问题：有谁来实现上述的运算过程？如果是以个别实体节点完成，如何让他们即时收取到一部分图的实时信息并作出rebalance决策？如何规避他们作恶？如果是以一种去中心化的方式实现，又如何使信息收集、运算和实施三个环节成为可能？如何让网络节点参与并遵循我们想要设定的规则？
本文中，我们先抛开第二个问题，专注于第一个问题。
支付网络中现有的rebalancing问题可以被这样抽象刻画：
给定一个支付网络，寻找足够多的回路，最大化可以调整的流量。无疑这是个线性规划问题。
现有的思路是直接解这一个线性规划问题。但是，直接求解这个线性规划问题的代价是非常昂贵的。最新的线性规划算法理论复杂度为O(M^w)，其中M为变量和约束条件个数，w是一个略小于3的常数。对于当前具有万级别节点的支付网络而言这个复杂度可以接受，不过我们认为这个复杂度对于未来具有百万上亿级别节点的支付网络来说，高了一些。但也没高太多！倘若能把复杂度稍微优化下去一些，就可以接受了。
接下来，我们将给出我们的解决思路。不过在此之前，我们先介绍一些必要的基础知识。
需要的预备知识
图论基础??
对于一个有向图，一个强连通分量指一个任意两点之间可以互相由图上有向边访达的子图。一个极大强连通分量是一个增加任何一个其它节点后就不具备强连通分量性质的子图。例如上图中，我们可以用灰色区域勾勒出它的四个极大强连通分量。
我们可以观察到以下方面：
极大强连通分量对任何一个有向图的所有节点完成了一个partition。
任何一个回路只会存在在同一个极大强连通分量内。
存在一个极高效的O(N)算法求出任一有向图的所有极大强连通分量。
其中N是全网节点数量。
将每个极大强连通分量看作一个整体，用边连接所有有访达关系的分量并缩点后，我们得到了一个有向无环图。
具体优化办法
接下来，我们介绍具体算法。
首先，我们对原支付网络图做一个简化变幻，将每一个双向通道变换为从存量多的一方指向存量少的一方的有向边，边的容量是两端存量差的一半。例如下图中，我们将上图变换为下图。
于是，我们将寻找回路问题转化成了寻找有向图环路的问题。有向图的每一条边代表了一个为了让原图的对应通道更加平衡需要回流流量的一个「势能」。每一个环路可以被看作一个回流方案。在进行强连通分量缩点后，我们只需要通过现有线性规划解每一个极大强连通分量内部的rebalance问题。?
其解决方案便已明朗：只需要求解出这个有向图的所有极大强连通分量，并且在每一个极大强连通分量中通过常规的线性规划，求得一个最优的调度方案。因为我们认为每个回路并不会跨两个不同的极大强连通分量，所以我们认为这个方法求出的就是全局的最优调度方案。?
这里其实有个小问题：这真的是个等价转换吗？实事求是地说并不是。有可能会出现最优全局调度方案中有回路横跨两个极大强连通分量的情况，因为有可能会出现「需要为了多数人苦一苦少数人」能得到更优解的可能性。不过笔者暂时认为这种偏差是值得的。况且，涉及到现实落地，兴许那些少数人并不会接受这样的调度。?
细心的读者们应该发现了本文中的两个没有解释清楚的问题：
1.到底优化了多少？
这个问题，本质上在问未来的大规模支付网络会有多少个极大强连通分量，分量越多，优化效果就越明显。本质上这个问题是未来大规模支付网络的拓扑结构是怎么样的。可以预期的是，如果绝大多数群众节点的度数只有4度左右，极大强连通分量的期望数量是关于网络节点数量以一种低于线性的速度增长的。
2.上文中的等价转化牺牲了多少？
其实，这两个问题本质上都在问：未来的大规模通道网络的拓扑结构究竟是怎么样的？
笔者认为，这个问题不但笔者回答不了，恐怕也没有人能准确回答的了。这一点笔者已经在之前的文章「一份关于支付网络中路由问题的全面研究」中给出了解释。
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