作者介绍：
0xmc@0xreviews:机制审计、产品设计、密码经济学独立研究员。
0xjezex@0xreviews:代币经济学独立研究员，初级Solidity工程师，伦敦帝国理工学院金融科技硕士生。
0xstan@0xreviews:独立开发者，DappLearning核心贡献者。
paco@perp.com:Solidity开发者、安全研究员、DeFi爱好者。
前言
Curve稳定币最难的部分是LLAMMA。LLAMMA参考了Uniswapv3中的一些原则。但是，白皮书中的价格与Uniswapv3白皮书中的算法不同。我们将统一这两个项目，并尝试了解CurveCEO是如何设计这个演算法。
用Uniswapv3作为参考
本文中价格的定义与Uniswapv3互为倒数。因此，我们修改了Uniswapv3白皮书中的公式，让它与本文保持一致。简而言之，LLAMMA试图让Uniswapv3中的一切都变得动态，以便为crvUSD债务人和清算人提供更适当的价格。
恒定乘积公式(ConstantProductFomula)比较
Uniswapv3白皮书中的公式(2.2)：
Elixir Games与Square Enix合作推动Web3游戏:金色财经报道，web3 游戏发行平台 Elixir Games 宣布与 Square Enix 建立战略合作伙伴关系，专注于在传统游戏玩家中提高 web3 游戏的知名度和采用率。该合作伙伴关系将使数百万游戏玩家能够通过一个隐藏 web3 技术并为传统游戏玩家提供简单无缝体验的平台探索优质的 web3 游戏。[2023/4/19 14:13:51]
图一：Uniswapv3虚拟流动模拟
Curve稳定币白皮书中的公式(1)：
图二:有外部价格来源的AMM
在这裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up
而对应关係为：
Messari分析师：USDC已成为DeFi的首选稳定币:Messari分析师Ryan Watkins发推特表示，未来几周，USDT在以太坊上的稳定币供应份额很可能首次跌破50%。USDC正迅速成为以太坊上占主导地位的稳定币，很大程度上是因为它在DeFi中的作用越来越大，超过50%的USDC（约125亿美元）供应进入了智能合约。[2021/6/30 0:17:30]
对应的恒定乘积公式为：
而在这之间：
流动性计算公式对应
Uniswapv3白皮书中的公式(6.7)：
由于它们的价格定义之间存在倒数关係，对应的公式为：
Gemini创始人：如果我是GameStop CEO 接下来我会买BTC:双子星交易所Gemini的创始人之一Tyler Winklevoss发推表示，如果我是GameStop的CEO，接下来我会买BTC，把它加到资产负债表里面。
据悉，GameStop是美国最大的视频游戏零售商，因硅谷风投家、维珍银河董事长Chamath Palihapitiya透露自己购买了该股的看涨期权，特斯拉CEO Elon Musk发推提到GameStop，GameStop的股价在周二暴涨92.61%。[2021/1/27 13:38:28]
此公式的一个具体应用是：
平方展开可以得到：
从上面的公式我们很容易的可以了解，当y0保持不变，Pcd和Pcu数值越接近，相对应的流动性I则越大。
换句话说：
流动性不可能是无限的,在UniswapV3中对应最小的tick会限制L的大小。
Messari：当前以太坊的日交易量总值是比特币的2倍:根据Messari近日发布的报告，得益于基于以太坊发行的稳定币的快速增长，以及DeFi的爆发式增长，以太坊当前的日交易量总值已攀升至比特币的两倍之多。[2020/10/22]
由此可以推断在LLAMMA中，我们还需要定义一个指标来衡量价格之间的最小差异，来继续Uniswapv3和Curve的类推。
对应最小差价
从A的定义中可以看出?,当p↓和p↑越接近时，A则越大，流动性集中度越高：
Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被预设。因此，tickSpacing决定了LP分配流动性的最低价格范围。tickSpacing越小，价格范围越窄、越精确。在Uniswapv3中，不同的费用等级决定了不同的tickSpacing。
然而，crvUSDLLAMMA不需要那麽多tickSpacing。由于LLAMMA仅有ETH-crvUSD,因此只需要让每一个tickSpacing=100basepoint。?
Messari分析师：逾99%的区块链费用都支付给了比特币和以太坊矿工:Messari加密货币分析师Ryan Watkins发推称，超过99%的区块链费用都支付给了比特币和以太坊矿工。除了比特币和以太坊，几乎所有区块链都可以免费使用。其他区块链的每日费用很少超过1000美元，而其他山寨币中狗狗币（Dogecoin）费用最高。
此外，以太坊的费用最近已经超过了比特币，表现为以太坊区块链上更多的gas使用。Watkins表示：“ETH的费用继续高于比特币的费用。上一次发生这种情况是在2018年中期，当时备受争议、现已不复存在的交易所Fcoin堵塞了以太坊的区块空间。关键区别——如今的费用压力更多地是由根本因素（实体经济活动）驱动的。”（CoinGape）[2020/6/20]
来自Uniswapv3的公式(6.1)：
在LLAMMA中，A=100，来自Curve稳定币白皮书的公式(11)：
设置n=-i,A=100,我们会得到：
设计Pcd和Pcu
我们希望LLAMMA具有以下属性：当ETH价格上涨时，矿池购买ETH。当ETH下跌时，矿池出售ETH。在这样的机制下，我们把Pcd和Pcu定义为Po的函数并且比线性函数更陡峭，因此它们的增长率会比Po更快。同时从图中可以看出两条曲线Pcu和Pcd分别通过两点(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。满足以上要求的Pcd和Pcu其实有很多曲线。通用公式为：
当m<n
让我们从最简单的例子开始：
把Pcu和Pcd带入I的平方展开：
然后f2可以计算为：
不难发现f2在这种假设下很难理解和计算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函数:
把Pcu和Pcd带入I的平方展开：
重新计算f2：
可以看出，当?Pcu和Pcd是Po的三次函数，整个数学形式就简单多了。去掉了平方根项，计算方便多了。如果接受更高的订单，则AMM的价格和Po将相差很大，因此购买ETH的成本会更高，而导致更大的清算损失。总之，把Pcu和Pcd定义为Po的三次函数是一个更好的选择。
其他参数的推导
Pcu和Pcd是关于Po的三次函数,取特别数值Po=P↑,不难得到Y=Y0和X=0，于是：
鉴于I的公式，我们可以计算f和g：
在这边，我们最终得到完整的恒定乘积公式：
将上方公式转化为Y0二次方程式：
用一个未知数的二次方程求解Y0：
如果价格变动的够慢让预言机价格Po完全有能力遵循它，给定X和Y，使用Uniswapv3的计算公式，是有可能计算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最终将处于的区间内：
参考出处：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf
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