前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。
Rangeproof
1.?预备知识
aL：表示向量{a1,a2……an}
2n：表示向量{20,21…2n-1}
<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量
2.?证明
Alice想要证明
v?
=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=grhv^v?}
public-x??????????witness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
由Coinbase发起的Travel Rule通用解决方案技术联盟成员已增加到36家:5月24日消息，由Coinbase发起的Travel Rule通用解决方案技术（TRUST）联盟成员现已增加到36家，包括Amber Group、Anchorage、Balance、Binance US、BitGo、bitFlyer、Bittrex、BlockFi、BlocPal、Cake DeFi、Circle、Coinbase、Coinhako、Coinsmart、Coinsquare、Crypto.com、Custodia、Fidelity Digital Asset、Gemini、Kraken、Netcoins、Nexo、Paxos、Robinhood、sFOX、Shakepay、Standard Custody & Trust、Symbridge、Tetra Trust、TradeStation、Unbanked、VirgoCX、Voyager、Wealthsimple、Zero Hash 和 Zodia Custody。
TRUST专注于为全球虚拟资产服务提供商（VASP）提供合规服务，包括安全保障措施。[2022/5/24 3:39:00]
V=grhv????(1)
<aL,2n>=v???(2)
aLoaR=0n??(3)
aR=aL-1n???(4)
公告 | 乐透互娱与蜜蜂计算设立合资 开发区块链超级计算芯片技术:1月23日，乐透互娱（08198.HK）发布公告称，于2020年1月23日，该公司全资附属互动实验室与合资伙伴蜜蜂计算(香港)就成立合资公司订立合资合作协议书，开发关于一类区块链超级计算芯片技术以及生产相关应用设备。[2020/1/23]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a
L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.?2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；
2.证明者要证明：
<aL,2n>=v(5)
<aL,aRoyn>=0???????(6)
声音 | 安利公司：区块链等新技术优化了消费体验:据中国质量新闻网消息，近日，安利公司发布消息，截至目前，智能机器人已经可以解决90%的顾客问题，回复准确率高达98%、顾客满意度高达97%。安利有关负责人表示，近年来，在大数据、人工智能、区块链等新技术推动下，“线下体验”与“线上社群”深度融合的新零售使消费不断升级，优化消费体验，满足和保障消费新需求，切实保障并提升消费者权益。[2019/3/19]
<aL-1n-aR,yn>=0???(7)
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a
L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：
2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：
z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积
4.?三个点积优化成1个点积
=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
动态 | 金融时报：未来区块链等技术与银行业的融合一定会越来越深入:据金融时报今日刊文指出，银行业“变革的思维”，还体现在科技与传统银行的结合上。未来，云计算、大数据、区块链与银行业的融合一定会越来越深入。数据和信息会成为未来银行的生命线。拥有数据和信息，就能精准勾画出消费者所需要的场景，从而提高银行服务和产品的覆盖范围与个性化程度，进而满足金融消费者的获得感、幸福感和安全感。并且，数字技术与普惠金融、小微金融、消费金融相结合，可以产生事半功倍的效果，因为小微企业与消费者是最需要数字技术所带来的金融服务便利性的客户群体。[2018/9/8]
=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v
乐心医疗：拟研发基于区块链技术的智能可穿戴手表:乐心医疗董事会秘书王继宝表示，乐心医疗非常重视通过区块链技术推进公司现有医疗设备的升级，积极拓展应用场景，优化健康数据的分析处理能力。基于公司原有的智能手表研发进度，公司目前正在积极考虑基于区块链技术的智能可穿戴手表的规划与设计，通过与合作伙伴的深入沟通，公司将尽快确定和落实相关产品的研发工作。[2018/4/9]
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)
=>?令
L=?aL-z*1n
R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n
δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>
5.验证：
1.证明者把L/R/V发送给验证者；
2.验证者事先算好δ
3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v
4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ
因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.?一个零知识证明协议
由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s
L
、s
R来隐藏a
L，a
R。如公式(10)(11)所示：
l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)
r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)
此时，定义公式(12)
t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)
可以看出系数t
0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)
r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n
需要校验：
P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n
=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n
=?hμgl(h`)r
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0+t1x+t2x2
需要校验：
=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2
=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2
=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2
=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{
l/r/t/
τ
x
/
μ
/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z
p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))
附录
1.Bulletproofs论文：
chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf
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