写在前面：为了应对以太坊的状态爆炸问题，以太坊联合创始人Vitalik提出了新的解决方案，其提议使用多项式承诺方案来替代默克尔树，以此大大减少无状态以太坊客户端的见证数据。
以下为译文：
关于这一研究，这里要感谢很多人提供的帮助，尤其是AZTEC团队向我介绍了复制约束参数、排序参数以及有效的批范围证明方法；DateryKhovratovich和JustinDrake在Kate承诺部分提供的方案，ElibenSasson关于FRI提供的反馈，以及JustinDrake进行的审查工作。这篇文章只是第一次尝试，如果有进一步的重要思考，我确实希望该方案能够被类似但更好的计划所取代。
太烦不看版总结：
我们建议用称为“多项式承诺”的神奇数学来替代默克尔树来累积区块链状态。好处包括：将无状态客户端的见证内容的大小减少到接近于零。这篇文章提出了利用多项式承诺进行状态累积所存在的挑战，并提出了具体的构建方法。
什么是多项式承诺？
多项式承诺是多项式P的一种‘哈希’，其具有可对哈希执行算术检查的属性。
例如，在三个多项式P，Q，R上，给定三个多项式承诺h_P=commit(P(x)),h_Q=commit(Q(x)),h_R=commit(R(x))，然后：
如果P(x)+Q(x)=R(x)，你可以生成一个证明，证明它和h_P,h_Q,h_R的关系；
如果P(x)*Q(x)=R(x)，你可以生成一个证明，证明它和h_P,h_Q,h_R的关系；
如果P(z)=a，你可以针对h_P生产一个证明
你可以将多项式承诺用作vector承诺，类似于默克尔树。多项式承诺的一个主要优点是，由于其数学结构的原因，其生成复杂证明要容易得多。
有哪些流行的多项式承诺方案？
当前有两个领跑者，它们分别是Kate承诺以及基于FRI的承诺。你可能还听说过防弹证明和DARKs算法，这些是替代型多项式承诺方案。而要了解有关多项式承诺的更多信息，YouTube上有相关的内容。
MetisDAO发布新项目ZKM:7月13日消息，以太坊扩容解决方案MetisDAO发布其孵化的新项目ZKM。ZKM将在年底前上线测试网，将现有的OptimisticRollup升级为HybridRollup，实现及时提款（原来OP的提款期为7天）并确保安全性。
ZKM采用MIPS指令集，从CPU级别实现所有虚拟机（VMs）和应用的零知识证明（ZKP）安全性，并支持多种区块链智能合约引擎。此外，ZKM的即插即用特性使开发者无需更改代码库即可应用ZKP，降低采用成本。借助以太坊的大型分散安全基础设施，ZKM可以验证所有区块链和非区块链交易。[2023/7/13 10:53:33]
多项式承诺在以太坊中有哪些容易应用的场景？
我们可以用多项式承诺来替换目前区块数据的默克尔根，并用开放证明替换默克尔分支。这给我们带来了两个很大的优势。首先，数据可用性检查会变得容易，并且不会存在欺诈，因为你可以简单地以随机方式请求开放。非交互式的托管证明也可能变得更容易。
其次，说服多数据片段的轻客户端也变得更加容易，因为你可以制造一个同时涵盖多个索引的有效证明。对于任何集{(x_1,y_1),...,(x_k,y_k。，定义三个多项式：
通过所有这些点的插值多项式I(x)；
在x_1，...，x_k等于0的零多项式Z=*...*；
商多项式Q=-I）/Z；
商多项式
Q的存在，意味着
P(x)-I(x)是
Z的倍数，因此
P-I为零，其中
Z(x)为零。这意味着对于所有
i，我们都有
P(x_i)-y_i=0，即
P(x_i)=y_i。验证者可以生成插值多项式和零多项式。证明由对商的承诺，加上随机点
z上的开放证明组成，因此，我们可以对任意多个点拥有一个常数大小的见证内容。
这种技术可以为区块数据的多次访问提供一些好处。然而，其对于一种不同的用例而言，存在的优势就要大得多：证明区块交易账户witness。平均而言，每个区块会访问数百个账户和存储密钥，这导致潜在的无状态客户端的见证内容大小会有0.5MB大小。而多项式承诺多见证，根据方案的不同，可以将区块witness的大小从数万字节减少到几百字节。
灰度CEO：预计将于第三季度末获悉能否将GBTC转换为现货比特币ETF:4月27日消息，Grayscale（灰度）CEO Michael Sonnenshein 在 CoinDesk2023 共识大会上表示，预计在今年第三季度末得知公司能否将价值 175 亿美元的灰度比特币信托（GBTC）转换为现货比特币 ETF。这一转换请求去年曾被 SEC 拒绝。[2023/4/27 14:31:27]
那我们可以使用多项式承诺来存储状态吗？
大体上，我们是可以的。相比将状态存储为默克尔树，我们选择将状态存储为两个多项式S_k(x)和S_v(x)，其中S_k，...，S_k表示键，而S_v，..。，S_v表示这些键上的值。
为了证明键值对，...，是状态的一部分，我们将提供索引i_1,...,i_k并显示与索引匹配的键和值，即k_1=S_k(i_1),...,k_k=S_k(i_k)和v_1=S_v(i_1),...,v_k=S_v(i_k)。
为了证明某些键的非成员性，可以尝试构造一个奇特的证明，证明键不在S_k，…，S_k中。相反，我们只需对键进行排序，以便证明非成员身份就足以证明两个相邻key的成员身份，一个小于目标key，一个则大于目标key。
而这和JustinDrake提出的使用SNARKs/STARKs来压缩witness以及相关的想法有着相似的好处，另外一个好处是，由于证明是累加器密码学原生的，而不是构建在累加器密码学上的证明，因此这消除了一个数量级的开销，并移除了对零知识证明友好哈希函数的需求。
但这里存在着两个大问题：
为k个密钥生成witness需要的时间是O，其中N是状态的大小。而预计N对应的状态数据会有大约50GB，因此在单个区块中生成这样的证明是不实际的；
2、用k个新值更新S_k(x)和S_v(x)花费的时间也需要O。这在单个区块中是不切实际的，特别是考虑到诸如witness更新和重新排序之类的复杂性。
下面我们将介绍应对这两大问题的解决方案。
高效读取
我们提供了两种解决方案，一种针对Kate承诺而设计，另一种则是针对基于FRI的承诺。不幸的是，这些方案具有不同的优点和缺点，从而会导致不同的属性。
Do Kwon律师拟将护照造假案上诉至最高法院 引渡进程或将拖延:金色财经报道，Terraform Labs创始人Do Kwon在黑山的法律代表Voislav Zetsevich律师在接受采访时表示，对于Do Kwon涉护照造假案，其已对一审判决向高等法院提起上诉，若败诉，还会将此案上诉至最高法院以寻求最终判决，他们将尽可能行使自卫权。该媒体评论称，这意味着实际引渡或需要相当长的时间。律师还提及，如果Do Kwon因护照造假案被判处最高5年徒刑，他可能会被遣返到另一个国家并在那里服刑。[2023/3/29 13:32:19]
1、Kate承诺
首先，请注意，对于N次多项式f，有一种方案可生成N个对应于
O(N*log(N))时间中每个
q_i(x)=(f(x)-f(i))/(X-i)的开放证明。
还请注意，我们可以按以下方式合并witness。考虑这样一个事实，q_i(x)只是一个离开f/的子常数项，通常，已知f/((X-x_1)*...*(X-x_k))是f/，...，f/使用部分分式分解的某种线性组合。只需知道x坐标就可以确定具体的线性组合：只需提出一个线性组合c_1*(x-x_2)*...*(x-x_k)+c_2*(x-x_1)*(x-x_3)*...*(x-x_k)+...+c_k*(x-x_1)*...*(x-x_{k-1})，其中不存在非常数项，这是k个未知数中的k方程组。
给定这样的线性组合，我们得到的东西仅是离开f/((x-x_1)*...*(x-x_k))的一个子常数项，因此它必然是商f(x)//((x-x_1)*...*(x-x_k))，其等于期望值(f(x)-I(x_1...x_k,y_1...y_k))/((x-x_1)*...*(x-x_k))。
一个可能的挑战是，对于大的状态，一个实际可计算的单一可信设置是不够大的：例如，PLONK设置只能容纳约3.2GB。相反，我们可以有一个由多个Kate承诺组成的状态。
我们对很多承诺作如下单一witness。为证明，首先让。witness是；如果Q是一个多项式，则F实际上在那些位置为零，因此fi在其位置具有期望值。
2、基于FRI的承诺
我们将状态存储在一个二维多项式
F的求值中（每个变量的阶数为
sqrt），并致力于对
4*sqrt(N)by4*sqrt(N)square求值
F。
我们将所有我们关心的值存储在位置(x,x**sqrt(N))，因此它们都具有唯一的x坐标。
为了证明在一组点x_1,...,x_k上的求值，我们构造了一个k次多项式路径，其在x_i处的求值为x_i**sqrt。
然后，我们创建一个多项式
h(t)=F(t,path(t))，其中包含对
(x_i,y_i)的所有期望求值，并且具有
k*）次。
我们在求值域中选择随机的30列c_1...c_k，对于每列查询30个随机行。我们承诺于h，为z_i=h(c_i)提供一个多开口，并对列商(R_i-z_i)/(X-path(c_i))进行FRI随机线性组合，以验证h的声明值是正确的，因此h(t)实际上等于F(t,path(t))。
使用二维多项式的原因是，这确保了我们不必对所有F进行任何计算；相反，我们只需要对我们选择的随机30行F进行计算），加上阶为p*(sqrt(N)+1)的h，创建FRI进行的计算大约为p*sqrt(N)。可以将此技术扩展到二维以上的多项式，以将sqrt因子降低到更低的指数。
高效写入
我们通过一系列的承诺，来解决与更新包含整个状态的单个承诺相关的挑战，较大的承诺，其更新频率也就较低：
区块本身，具有“读取见证”(R_k(x),R_v(x))和“写入见证”，W_v），表示要写入状态的值。注意，我们可以设置W_k=R_k，并在运行时计算W_v。
第一个缓存C1=，C1_v）存储最近一天的更新内容；
第二个缓存C2等于前一天的最后一个C1；
满状态S=，S_v）包含时间超过1-2天的值；
我们将使用的方法如下。为了从状态中读取一些键k，我们将依次读取
C1,
C2,
S。如果键位于某
C1_k处，则对应的值
C1_v存储该值，如果键位于
C2_k，则
C2_v存储该值，依此类推，如果键位于
S_k，则
S_v存储该值。如果这些检查都没有返回键，则该值为0。
复制约束参数的简介
复制约束参数，是我们将使用的witness更新证明的关键组成部分；有关复制约束参数如何工作的详细信息，请参见此处。简而言之，该想法是选择一个随机r，并生成一个“累加”多项式ACC，其中ACC=1且ACC=ACC*）。你可以通过开放读取ACC(y)/ACC(x)，来读取x....y-1范围内的点累加器。你可以使用这些累加器值，将这些求值与其他求值集进行比较，而无需考虑排列。
你还可以通过设置
ACC(x+1)=ACC(x)*(r+P_1(x)+r2*P_2(x))来证明某些随机
r和
r2的求值元组（即多集
{(P_1(0),P_2(0)),(P_1(1),P_2(1)),...}）的等价性。多项式承诺可有效用于证明有关ACC的主张。
为了证明子集，我们可以做相同的事情，除了我们还要提供一个指标多项式ind，证明该ind(x)在整个范围内等于0或1，并设置ACC=ACC**）+）），否则不使用累加器值）。
小结：
我们可以证明a和b之间的P求值，是a和b之间Q求值的置换；
我们可以证明a和b之间的P求值，是a和b之间Q求值置换的子集；
我们可以证明P和Q的求值，是R和S置换，其中P->Q和R->S是相同的置换；
在下面的内容中，除非明确说明，否则我们将偷懒地表述为“P是Q的置换”，意思是“P在0和k之间的求值，是Q在0和k之间对适当k求值的置换”。请注意，下面的内容中，我们还会涉及到每个witness的“大小”，以确定我们接受的任何
C_k中的坐标，而超出范围的
C_k值当然不计算在内。
映射合并参数
为了更新缓存，我们使用了“映射合并参数”。给定两个映射A=，A_v）和B=，B_v），生成合并映射C=，C_v）以便：
C_k中的键被分类；
对于0<=i<size(B)，(B_k(i),B_v(i))在C中；
对于0<=i<size(A)，仅当A_k(i)不在B的求值集之内时，(A_k(i),A_v(i))在C中；
我们用一系列复制约束参数来实现这一点。首先，我们生成两个辅助多项式
U，
I，它们分别表示
A_k和
B_k的“并集”和“交集”。将
A_k，B_k，C_k，U，I视为集合，我们首先需要展示：
1、A_k?U；
2、B_k?U；
3、I?A_k；
4、I?B_k；
5、A_k+B_k=U+I；
我们预先假设在A_k和B_k中没有重复，这意味着A_k！=A_j对于范围内的i！=j与B_k相同。由于I是A_k和B_k的子集，所以我们已经知道I也没有重复的值。通过使用另一个复制约束参数来证明U和C_k之间的等价关系，证明了U中没有重复项，并证明C_k是已排序且无重复的。我们用一个简单的复制约束参数证明A_k+B_k=U+I声明。
为了证明C_k已排序且没有重复，我们证明C_k>C_k的范围为0...size。我们通过生成多项式D_1，...，D_16，并证明C-C=1+D_1+2**16*D_2+2**32*D_3+...来做到这一点。本质上，D_1，...，D_16将差异存储在基2**16中。然后，我们生成一个多项式E，其满足所有D_1，...，D_16的复制约束以及f=x，并且满足E(x+1)-E(x)={0,1}限制。我们还检查了E=0以及E*16+65536）=65535。
关于E的约束表明，E中的所有值都夹在0和65535之间。对
D_i的复制约束，证明
D_i中的所有值都在0到65535之间，这证明了它是一个正确的16进制表示，从而证明了
C_k-C_k实际上是一个正数。
现在，我们需要证明value。我们添加另一个多项式U_v，并验证：
在0...size(B)的(U,U_v)等于在0...size(B)的(B_k,B_v)；
在size(B)...size(A)+size(B)的(U,U_v)，是在0...size(A)的一个子集；
目标是在
U中，我们先放置来自
B的所有值，然后再放置来自
A的值，并使用相同的置换参数来确保键和值被正确复制。然后我们验证
是
的一个置换。
使用映射合并参数
我们按照下面的方式使用映射合并参数，假设每天有BLOCKS_PER_DAY个区块。
如果block.number%BLOCKS_PER_DAY!=0，我们验证(C1_k,C1_v)=merge((W_k,W_v),(C1_old_k,C1_old_v))；
如果block.number%BLOCKS_PER_DAY==0，我们验证(C1_k,C1_v)=(W_k,W_v)以及(C2_k,C2_v)=(C1_old_k,C1_old_v)；
请注意，C2具有一整天的时间，在此期间它保持不变。我们为任何人产生
=merge，）的证明提供奖励；提供此证明后，我们将承诺
更新为新值，并将
重置为空。如果
S在当天没有更新，则我们将
C1->C2传输延迟到更新为止；请注意，该协议确实取决于
S的更新速度是否足够快。如果这不可能发生，那么我们可以通过添加更多层缓存的层次结构来解决这个问题。
从糟糕的FRI中恢复
对于FRI的情况，注意，有可能会出现有人生成的FRI在某些位置无效，但这不足以阻止验证。这不会立即造成安全风险，但可能会阻止下一个更新者生成witness。
我们通过以下几种方法来解决这个问题。首先，注意到某些FRI生成错误的人，可提供自己的FRI。如果通过相同的检查，它将被添加到可构建下一次更新的有效FRI列表中。然后，我们可以使用交互式计算游戏来检测和惩罚不良FRI的创建者。其次，他们可提供自己的FRI以及STARK来证明其有效，从而立即罚没了无效FRI的创建者。通过FRI生成STARK是非常昂贵的，尤其是在较大规模时，但这样做是值得的，因为这可以赚取很大一部分无效提议者的保证金奖励。
因此，我们有了一种机制来使用多项式承诺，以此作为一个有效读取和写入witness来存储状态。这使我们能够大幅度减少见证内容大小，同时也可以带来一些好处，比如让我们有能力对数据可用性进行检查，以及实现关于状态的托管证明。
今后的工作
提出FRI证明，要求少于900次查询；
从理论上讲，如果你预先计算并存储拉格朗日基，理论上可以快速更新Kate承诺。这是否可以扩展到快速更新所有witness，以及为键值映射而不是一个vector工作？
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